viernes, 7 de noviembre de 2014

Gimnasia mental (XXII) - Excursiones matemáticas

Una hormiga vive en el origen del plano cartesiano. Un día decide salir de excursión y se promete cumplir las siguientes reglas:
  1. El primer día caminará en línea recta una distancia de una unidad y, a partir del segundo día, todos los días andará exactamente una unidad más que el día anterior, pero siempre en línea recta
  2. Todas las noches las pasará en un lugar con coordenadas enteras
  3. Durante su recorrido nunca cruzará por ningún lugar por el que haya pasado antes
  4. En todo su recorrido nunca cruzará ninguno de los dos ejes del plano cartesiano
  5. Al iniciar su recorrido cada mañana, la hormiga cambiará la dirección que llevaba el día anterior.
Si la hormiga cumple sus reglas durante toda la excursión,
¿es posible que pueda regresar a su casa algún día?

12 comentarios:

  1. A la vista de que tiene pocas afinidades este problema, daremos alguna pista: la hormiga puede desplazarse en lineas diagonales siempre y cuando cumpla con su promesas, en este caso quizás, la más importante: salir y terminar en coordenadas enteras.
    Siendo así, y sin hacer muchas iteraciones, ¿cuál sería el primer par de puntos (de coordenadas enteras) que definirían un recorrido diagonal para el que se cumpliera el teorema de Pitágoras?

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  2. ¿(4,3)?. Si la hormiga es capaz de llegar allí en en 4 días cumpliendo todas las reglas puede llegar a casa en el quinto día. Me lo tengo que pensar :).

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  3. ¿Y si le "das la vuelta al calcetín?
    Efectivamente 3, 4, 5 son los primeros enteros para los que se cumple: a^2+b^2=c^2
    ¿Y si en lugar de ser coordenadas fueran otra cosa: días, recorridos, distancias?

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  4. Ja, ja, ja... como sabes "picarme". Vamos a ver, tras pensármelo y otra vez utilizando la fuerza bruta, creo que efectivamente la hormiga puede, cumpliendo todas las reglas que ha prometido no saltarse, regresar a su casa.

    He aquí mi razonamiento (como digo fuerza bruta y, para ello, he tenido que recorrer ene mil excursiones :) ). Al final te hago una serie de preguntas:

    1º) Evidentemente, por la regla de no cruzar nunca ninguno de los ejes del plano cartesiano, da igual sobre que cuadrante lo hagamos. Si hay solución o soluciones, habrá ese número de soluciones x 2 en cada cuadrante (la solución/es hallada/s más su/s simétrica/s) y x 4 en el plano cartesiano (ya que hay cuatro cuadrantes).

    2º) Escojamos, por tanto, un cuadrante. En mi caso el superior derecho.

    3º) Este es el razonamiento que empleo (insisto que fuerza bruta, no tengo ni capacidad ni talento para hallar una generalización vía fórmula matemática, que lo demuestre (esto te lo dejo a ti :) ).

    En el siguiente comentario la solución que yo entiendo: ¿Puede o no puede regresar a su casa - origen del plano cartesiano, coordenas (0,0) -, aunque ya os he adelantado que creo que sí puede, pero no antes de 8 días).

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  5. La solución que yo entiendo (y las preguntas para Dani al final :) ).

    Cumpliendo todas las reglas:

    1.- El primer día no puede moverse en diagonal (ya que si lo hace no caminaría una unidad, sino una distancia equivalente a la raíz cuadrada de 2) y, como utilizaré el cuadrante superior derecho, sólo tiene dos posibilidades:

    (0,1) ó (1,0).

    2.- El segundo día tampoco puede caminar en diagonal, ya que no hay ninguna posibilidad de que ésta dé como resultado 2 (una unidad más que el día anterior), por lo que, además, cambiando de dirección, sólo le quedan dos posibilidades:

    2.1.- si el primer día (0,1) --> el segundo día (2,1).

    2.2.- si el primer día (1,0) --> el segundo día (1,2).

    Sigue en el comentario siguiente.

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  6. Las coordenadas enteras te fuerzan a un único cuadrante ;-)

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  7. 3.- El tercer día tampoco tiene la posibilidad de caminar en diagonal, ya que tampoco hay ninguna posibilidad de que ésta (hipotenusa) dé como resultado 3 (una unidad más que el día anterior), por lo que, además y otra vez cambiando de dirección, sólo le quedan dos posibilidades:

    3.1.- Si el segundo día (2,1) --> el tercer día (2,4).

    3.2.- Si el segundo día (1,2) --> el tercer día (4,2).

    3.- El cuarto día, por el mismo motivo tampoco tiene la posibilidad de caminar en diagonal, ya que tampoco hay ninguna posibilidad de que ésta (hipotenusa) dé como resultado 4 (una unidad más que el día anterior), por lo que, además y otra vez cambiando de dirección, sólo le quedan dos posibilidades:

    3.1.- Si el tercer día (2,4) --> el cuarto día (6,4).

    3.2.- Si el tercer día (4,2) --> el cuarto día (4,6).

    Y ya, a partir del quinto día es cuando tiene la posibilidad de moverse en diagonal para recorrer 5 unidades (1 más que el día anterior, ya que la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 da como resultado 5 - el famoso triángulo de Pitágoras). Prometo terminar en el siguiente comentario si tengo espacio :)

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  8. Por tanto y termino para no enrrollarme, hay al menos dos posibles soluciones para que la hormiga vuelva a su casa:

    1º) (0,1), (2,1), (2,4), (6,4), (2,7), (8,7), (8,0) y (0,0).

    Y tal como he dicho, su simétrica:

    2º) (1,0), (1,2), (4,2), (4,6), (7,2), (7,8), (0,8) y (0,0).

    Lo que no sé es si hay más, que muy posiblemente sí, pero ahí van las preguntas para Dani:

    a) ¿Hay alguna solución para que la hormiga puede volver a su casa antes de 8 días?.

    b) ¿Alguna generalización en forma de fórmula matemática?.

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  9. La solución es correcta.
    No hay una "fórmula", hasta donde yo llego a saber, tampoco resolverse en menos pasos, sino "un algoritmo" de prueba y error de tipo backtracking.

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  10. Joe... con el backtracking, que no sé lo que es - como le decía San Pedro a nuestro Señor: "Señor cada vez te quiero más aunque cada vez te entiendo menos" -, me ha costado devanarme el cerebro en ene mil vueltas :)

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