Ir al contenido principal

Criptografía (XLVI): RSA y los números primos grandes, ¿"la pescadilla que se muerde la cola"?

Imagen
De
Tal y como he venido comentado en la serie de posts dedicados al algoritmo RSA, quizá el criptosistema de clave pública más utilizado en la actualidad, éste se basa en la elección de dos números primos aleatorios lo suficientemente grandes (actualmente del orden de 200 dígitos decimales cada uno de ellos) para generar el par de claves (pública y privada) correspondiente a cada usuario.

También decía en un post anterior que no es trivial conocer si un número lo suficientemente grande es primo o compuesto y que, para ello, podíamos caer en la "tentación" de intentar factorizarlo. Craso error, pues tal y como también he venido insistiendo en esta serie de posts, nos enfrentaríamos precisamente con aquello en lo que se basa la fortaleza de este cifrado: actualmente ésto no es posible en un tiempo mínimamente razonable.

Entonces: ¿Cómo seleccionamos aleatoriamente los dos números primos grandes para generar el par de claves correspondiente a un usuario?, es decir, ¿Cómo "determinamos" que los números primos aleatorios elegidos son primos sin intentar factorizarlos?, ¿Es la "pescadilla que se muerde la cola"?.

Pues no, tal y como también decía en este post, afortunadamente existen algoritmos probabilísticos que nos pueden decir con un alto nivel de confianza si un número dado es primo, aunque no haya certeza matemática (100%) al respecto.

Veamos uno de los tests de primalidad más utilizados, el de Miller-Rabin, y algunos ejemplos.

 Si no lo he entendido mal, el algoritmo para aplicar este test a un número dado para conocer si éste es primo (con un alto nivel de confianza) o compuesto podría ser el siguiente:
Veamos algunos ejemplos:

 1.- Partiendo del ejemplo que vengo utilizando en esta serie de posts: ¿es el 997 un número primo?:

 Aunque con un número tan pequeño es trivial conocer si es primo o no (ya sabemos que sí lo es) veamos que ocurre aplicando el test de primalidad de Miller-Rabin:
2.- Pero quizá no sea tan trivial saber si el 286.467.789.841 es un número primo. Veamos que ocurre en esta ocasión.
Y como para demostrar que un número es compuesto no hay mejor demostración que enseñar los factores no triviales cuyo producto da ese número: 298.817 x 958.673 = 286.467.789.841.

3.- Y, finalmente: ¿es el 275.415.303.169 un número primo?:
En este caso, el test nos dice que probablemente (con un muy elevado nivel de confianza) este número es primo, aunque como digo no se trata de un test determinista y por tanto creérselo es una cuestión de fe :), aunque yo sé que efectivamente sí lo es.

Quizás también te interese:

Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Criptografía (I): cifrado Vigenère y criptoanálisis Kasiski

De
Hace unos días mi amigo Iñaki Regidor ( @Inaki_Regidor ), a quien dedico esta entrada :), compartió en las redes sociales un post titulado "Criptografía: el arte de esconder mensajes"  publicado en uno de los blogs de EiTB . En ese post se explican ciertos métodos clásicos para cifrar mensajes , entre ellos el cifrado de Vigenère , y , al final del mismo, se propone un reto consistente en descifrar un mensaje , lo que me ha animado a escribir este post sobre el método Kasiski  para atacar un cifrado polialfabético ( conociendo la clave descifrar el mensaje es muy fácil, pero lo que contaré en este post es la forma de hacerlo sin saberla ). El mensaje a descifrar es el siguiente: LNUDVMUYRMUDVLLPXAFZUEFAIOVWVMUOVMUEVMUEZCUDVSYWCIVCFGUCUNYCGALLGRCYTIJTRNNPJQOPJEMZITYLIAYYKRYEFDUDCAMAVRMZEAMBLEXPJCCQIEHPJTYXVNMLAEZTIMUOFRUFC Como ya he dicho el método de Vigenère es un sistema de sustitución polialfabético , lo que significa que, al contrario que en un sistema de
105 comentarios
Leer más

¿Qué significa el emblema de la profesión informática? (I)

De
Todas o muchas profesiones tienen un emblema que las representa simbólicamente y en el caso de la  informática: " es el establecido en la resolución de 11 de noviembre de 1977  para las titulaciones universitarias superiores de informática, y  está constituido por una figura representando en su parte central  un  núcleo toroidal de ferrita , atravesado por  hilos de lectura,  escritura e inhibición . El núcleo está rodeado por  dos ramas : una  de  laurel , como símbolo de recompensa, y la otra, de  olivo , como  símbolo de sabiduría. La  corona  será la  de la casa real  española,  y bajo el escudo se inscribirá el acrónimo de la organización. ". Veamos los diferentes elementos tomando como ejemplo el emblema del COIIE/EIIEO (Colegio Oficial de Ingenieros en Informática del País Vasco/ Euskadiko Informatikako Ingeniarien Elkargo Ofiziala ) . Pero no sólo el COIIE/EIIEO adopta el emblema establecido en dicha resolución, sino que éste se adopta también como im
Publicar un comentario
Leer más

Criptografía (XXIII): cifrado de Hill (I)

De
En este post me propongo explicar de forma comprensible lo que he entendido sobre el cifrado de Hill , propuesto por el matemático Lester S. Hill , en 1929, y que se basa en emplear una matriz como clave  para cifrar un texto en claro y su inversa para descifrar el criptograma correspondiente . Hay tres cosas que me gustan de la criptografía clásica, además de que considero que ésta es muy didáctica a la hora de comprender los sistemas criptográficos modernos: la primera de ellas es que me "obliga" a repasar conceptos de matemáticas aprendidos hace mucho tiempo y, desgraciadamente, olvidados también hace demasiado tiempo, y, por consiguiente, que, como dice  Dani , amigo y coautor de este blog, me "obliga" a hacer "gimnasia mental"; la segunda es que, en la mayoría de las ocasiones, pueden cifrarse y descifrase los mensajes, e incluso realizarse el criptoanálisis de los criptogramas, sin más que un simple lápiz y papel, es decir, para mi es como un pasat
5 comentarios
Leer más