Criptografía (XLVII): Descifrado RSA, ¿un "trabajo de chinos"?

Uno de los estereotipos con relación a los chinos es que éstos son muy laboriosos, pacientes y meticulosos en el trabajo, por lo que entiendo que el dicho popular "trabajo de chinos" hace referencia a aquel que es largo, tedioso y/o complicado.

Pero, ¿qué tiene que ver esto con el descifrado utilizando el algoritmo RSA?

Me explico: tal y como sabemos, en criptografía híbrida, el algoritmo RSA se emplea para cifrar la clave de sesión (un número aleatorio correspondiente a cada mensaje particular) con la clave pública del receptor y que después este último descifra utilizando su clave privada (criptografía asimétrica) para, a su vez, poder después descifrar el criptograma empleando la clave de sesión (criptografía simétrica).

Supongamos que para cifrar el texto en claro se utiliza el algoritmo de criptografía simétrica AES (longitud de la clave de 256 bits). Por tanto, para cifrar la clave de sesión (k) mediante RSA se realizará la siguiente operación: c = k^e mod n, donde k tiene un tamaño de 256 bits, para e se recomienda utilizar valores relativamente pequeños para forzar que d tenga un tamaño en bits del orden del módulo, y n de 2048 bits.

Por consiguiente, para el descifrado de la clave de sesión se realizará la siguiente operación: k = c^d mod n, donde c puede tener un tamaño de 2048 bits, d será del orden de 2048 bits y n de 2048 bits, lo que efectivamente tiene pinta de ser, por costoso, un auténtico "trabajo de chinos".

Bueno, pues que lo resuelvan los chinos..., y efectivamente también así es, ya que para simplificar los cálculos en el descifrado se suele utilizar el teorema chino del resto.

Utilizando este teorema y mediante los números primos p y q cuyo producto es el módulo (n), los cálculos a realizar en el descifrado, tal y como veremos más adelante, serán sensiblemente más rápidos. Nótese que los números p y q son secretos y, por tanto, que ésto sólo puede realizarlo el receptor del mensaje.

Para ello, junto con su clave privada (d, n), el receptor debe guardar los números primos p y q, y, además, para aplicar de forma óptima este teorema en el descifrado, los siguientes valores:

1.- p₁ = p^-1 mod q

2.- d_p = d mod (p – 1)

3.- d_q = d mod (q – 1)

De esta forma sólo debemos calcular estos valores un sola vez y evitamos tener que hacerlo en cada descifrado.

Ahora, por lo que he entendido, el descifrado se realizaría de la siguiente manera:

1.- Calculamos:

1.1.- c_p = c mod p; c_q = c mod q

1.2.- k₁ = c_p^dp mod p; k₂ = c_q^dq mod q

2.- Resultado: k = k₁ + p (((k₂ – k₁) p₁) mod q)

Veamos un ejemplo, pero esta vez con números un poco más grandes de aquellos que vengo utilizando en esta serie de posts, aunque todavía mucho más pequeños de los que se emplean actualmente en RSA. De esta forma veremos mejor la ventaja que supone aplicar este teorema en el descifrado.

Previamente al ejemplo, genero un par de claves y realizo la operación de cifrado de una clave de sesión (k):

1.- p = 26.317; q = 30.269; n = p q = 26.317 x 30.269 = 796.589.273; j(n) = (p – 1)(q – 1) = 26.316 x 30.268 = 796.532.688; e = 65.537; mcd(e, j(n)) = mcd(65.537, 796.532.688) = 1; d = inv(e, j(n)) = inv(65.537, 796.532.688) = 329.140.817 

2.- Clave pública del receptor (e, n): (65.537, 796.589.273)

3.- Clave privada del receptor (d, n): (329.140.817, 796.589.273)

4.- Clave de sesión (k) a cifrar mediante RSA: 505.316.708

5.- Cifrado: c = k^e mod n = 505.316.708^65.537 mod 796.589.273 = 670.835.545

Y ahora el ejemplo: el receptor tiene guardados, junto a su clave privada (329.140.817, 796.589.273), p = 26.317, q = 30.269 y  los siguientes valores previamente calculados: p₁ = p^-1 mod q = 17.685; d_p = d mod (p – 1) = 329.140.817 mod 26.316 = 6.605; d_q = d mod (q – 1) = 329.140.817 mod 30.268 = 6.585, con lo que, si lo he entendido bien, el descifrado sería como sigue:

1.- c_p = c mod p = 670.835.545 mod 26.317 = 15.215; c_q = c mod q =  670.835.545 mod 30.269 = 13.967

2.- k₁ = c_p^dp mod p = 15.215^6.605 mod 26.317 = 3.991; k₂ = c_q^dq mod q =  13.967^6.585 mod 30.269 = 6.022

3.- k = k₁ + p (((k₂ – k₁) p₁) mod q) = 3.991 + 26.317 (((6.022 – 3.991) 17.685) mod 30.269) = 3.991 + 26.317 x 19.201 = 505.316.708

Y, por tanto, parece que "los chinos han hecho bien su trabajo" :), ya que como se puede observar el resultado del descifrado coincide con la clave de sesión (k) que se ha cifrado.

Nótese que el paso más costoso del descifrado es el paso 2, en el que se realizan dos operaciones de exponenciación modular con bases con una longitud de 14 bits, exponentes de 13 bits y módulos de 15 bits, mientras que si no utilizáramos este teorema el descifrado se realizaría mediante la siguiente operación: k = c^d mod n = 670.835.545^329.140.817 mod 796.589.273 = 505.316.708, es decir, una operación de exponenciación modular con una base de longitud 30 bits, un exponente de 29 bits y un módulo de 30 bits.

Con lo que tal y como se observa, la ventaja fundamental de aplicar este teorema consiste en que mientras la clave privada (d) tiene una longitud del orden del tamaño del módulo (en nuestro caso 29 y 30 bits, respectivamente), dp y dq tienen una longitud aproximadamente de la mitad (en nuestro caso 13 bits) y, además, estos dos últimos valores pueden calcularse previamente una sola vez y guardarse para ser utilizados en descifrados posteriores.

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