Cuadrados mágicos (I): Solución Reto 1

Solución al reto sobre cuadrados mágicos y ajedrez que he puesto recientemente en este blog.

El enunciado del reto decía lo siguiente: Construyo el cuadrado mágico sobre un tablero de ajedrez que servirá de punto de partida de este reto. Para ello:

- En primer lugar, dispongo sobre el tablero (cuadrado de 8 filas y 8 columnas), de izquierda a derecha y de arriba a abajo, es decir, completándolo por filas, los números del 1 al 64, de forma consecutiva y sin repetir ninguno de ellos, de la siguiente manera:

- Después, manteniendo los números dispuestos en el subcuadrado central de orden n/2 (en nuestro caso 8/2 = 4) y los cuatro subcuadrados de las esquinas de orden n/4 (en nuestro caso 8/4 = 2), giro el resto de números 180º respecto del centro del cuadrado, o, lo que es lo mismo, los recoloco en orden decreciente, de la siguiente manera:

- Con lo que ya he obtenido un cuadrado mágico: la suma de los números en todas las casillas de cada fila, la de los números en todas las casillas de cada columna y la de los números en todas las casillas de cada una de las diagonales principales es igual a su constante mágica, 260.

Es un cuadrado mágico normal, porque contiene todos los números naturales desde el 1 hasta n² (en este caso del 1 al 64, ya que se trata de un cuadrado de orden 8, 8 filas x 8 columnas). En el caso de  cuadrados mágicos normales la constante mágica se puede calcular mediante la siguiente fórmula: n(n²+1)/2. En este caso concreto: 8(64+1)/2 = 260.

Pero, además, este cuadrado mágico oculta una de las posibles soluciones a uno de los problemas más famosos de ajedrez: ¿A qué problema me refiero?, ¿Cuál es la posible solución a dicho problema que se esconde en este cuadrado mágico?.

Solución: Como decía en la primera pista que puse para resolver este reto, quizás el problema de ajedrez más famoso, junto con el problema del caballo (al que, por cierto, da una posible solución el cuadrado semimágico de Euler), es el problema de las 8 reinas, que tal y como nos cuenta Wikipedia consiste en poner ocho reinas en el tablero de ajedrez sin que ninguna de ellas amenace con capturar a otra, y es a este último problema al que se refiere este reto.

Pues bien, creo que una posible solución es la siguiente:

No veo que ninguna dama amenace con capturar a otra y, por tanto, creo que es una posible solución. Además, creo que es una solución elegante por su simetría.

Veamos que ocurre si pongo esta misma disposición de reinas en el cuadrado mágico que construí para este reto y sumo los números de las casillas donde las ubico:

Y, curiosamente: 5 + 11 + 17 + 31 + 34 + 48 + 54 + 60 = 260, es decir, la suma de los números de las 8 casillas en las que se ubican las reinas de una posible solución es igual a la constante mágica del cuadrado mágico.

Además, hay otras soluciones cuya suma de los números de las 8 casillas en las que se ubican las reinas da 260, aunque creo que todas ellas se obtienen mediante rotación, simetría o traslación de la posición anterior. Por ejemplo:

6 + 12 + 23 +25 + 40 + 42 + 53 + 59 = 260

4 + 14 + 24 + 26 + 39 + 41 + 51 + 61 = 260

Con lo que la solución a este reto es que en él me refiero al problemas de las 8 reinas, y la posible solución que esconde el cuadrado mágico que sirve de base para este reto es la primeras que he indicado o aquellas otras, ya sean variantes de la misma por rotación, simetría o traslación, cuya suma de las 8 casillas dé 260.

Sinceramente, no sé si estas tres son las únicas posibles soluciones que se esconden en el tablero mágico del desafío, intuyo que sí, pero me propongo averiguarlo mediante un pequeño programa que resuelva el siguiente reto que voy a proponer a los lectores de este blog :)

******** PRÓXIMO RETO
Reto 2:   "Los cuadrados mágicos y el ajedrez (II)".