viernes, 10 de enero de 2014

Gimnasia mental (X) - Deducción compleja

La maestra dice en clase:

"Estoy pensando en dos números naturales mayores que 1. Intentar adivinar cuáles son. El alumno A conoce el valor del producto de ambos. El alumno B conoce el valor de la suma de ambos".

- Alumno A: "No conozco la suma".

- Alumno B: "Eso ya lo sé. La suma es menor que 14".

- Alumno A: "Eso ya lo sabía; sin embargo, ahora ya conozco los números".

- Alumno B: "Ahora yo también los conozco".
¿De qué números se trata?.

5 comentarios:

  1. Éste si que tiene pinta de difícil. Vayamos por partes, como decía Jack el destripador:

    1.- Números naturales mayores que 1, lo que significa números enteros positivos comenzando desde 2.

    2. Supongo que ambos números son distintos, ya que la profesora piensa en DOS números.

    3.- Por tanto, los números posibles son:

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (teniendo en cuenta que la suma de ambos no pueden ser superior a 13).

    Me lo tengo que pensar :)

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  2. Bueno, tarde de domingo, a por ello:

    Una vez leído el enunciado se deduce que, como la suma tiene que ser menor o igual que 13 (menor que 14), el producto tiene que ser menor igual que 42, lo que acota bastante el problema, ya que sólo quedan 25 posibles soluciones con los 10 números enteros del 2 a 11 que indicaba en el anterior comentario.

    Siendo el par de números a y b, no se me ocurre más que utilizar la "fuerza bruta" (aunque seguro que hay una solución más elegante) y, por tanto, lo primero que hay que preguntarse es: ¿Por qué el Alumno A conociendo el valor del producto de ambos números no conoce la suma?.

    Es decir, lo primero que hay que averiguar son los posibles valores de la suma que hagan que el Alumno A, conociendo el producto de ambos números, no sepa la suma de ambos.

    Continúa en el comentario siguiente.

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  3. Los posibles resultados de la suma de dos números enteros positivos desde el 2 al 11 (siendo estos dos números distintos y para que la suma sea menor o igual a 13) van del 5 al 13:

    - Suma(2,3)=5;
    - Suma(2,4)=6;
    - ...
    - Suma(2,11)=13;

    - Suma(3,4)=7;
    - Suma(3,5)=8;
    - ...
    - Suma(3,10)=13;

    - ...

    - Suma(5,6)=11;
    - Suma(5,7)=12;
    - Suma(5,8)=13;

    - Suma(6,7)=13.

    Es decir, en principio, todas las posibilidades del resultado de Suma(a,b) son: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

    Ahora bien, si el Alumno A conoce el producto y no conoce la suma:

    - ¿Puede ser la suma 5?. No, porque si A supiera que el producto es 6 (sólo se puede llegar a ese producto multiplicando 2x3), conocería también la suma, es decir, 2+3=5.

    - ¿Puede ser la suma 6?. No, porque si A supiera que el producto es 8 (sólo se puede llegar a ese producto multiplicando 2x4), conocería también la suma, es decir, 2+4=6.

    - ¿Puede ser la suma 7?. Sí, pero en ese caso el producto debe ser 12, ya que si A supiera que el producto es 10 (sólo se puede llegar a ese producto multiplicando 2x5), conocería también la suma, es decir, 2+5=7. Por tanto, en este caso, el producto 12, hace que A no pueda saber la suma, ya que es posible obtener ese producto multiplicando 2x6 ó 3x4, lo que haría que A no sepa si la suma es 8 (2+6) ó 7 (3+4).

    Por tanto, si la suma es 7 (que sólo sabe B), aunque A sepa que el producto es 12 no podría saber la suma y, en consecuencia y como A dice que no sabe la suma, es un valor válido en principio para suma(a,b).

    ...

    Siguiendo este "razonamiento" (fuerza bruta y que no sé si es correcto) con el resto de posibles resultados para la suma, llegamos a la conclusión de que para que A desconozca el resultado de la suma conociendo el producto, los únicos pares de valores posibles son:

    - (2,6), (3,4) --> Si el producto es 12.
    - (2,9), (3,6) --> Si el producto es 18.
    - (2,10), (4,5) --> Si el producto es 20.
    - (3,8), (6,4) --> Si el producto es 24.
    - (3,10), (5,6) --> Si el producto es 30.

    Es decir, las posibles soluciones son 10 en lugar de las 25 que indicábamos en el anterior comentario.

    Continúa en el siguiente comentario.

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  4. Lo segundo que hay que averiguar es, a partir de los diez pares de valores obtenidos en el comentario anterior, cuáles son los posibles resultados de la suma que B conoce para que él no conozca el producto.

    - ¿Puede ser la suma que B conoce igual a 7?. No, porque si B supiera que la suma es 7 (con los pares de valores que quedan sólo se puede llegar a ese resultado sumando 3+4) conocería también el producto, es decir, 3*4=12.

    - ¿Puede ser la suma que B conoce igual a 8?. No, porque si B supiera que la suma es 8 (con los pares de valores que quedan sólo se puede llegar a ese resultado sumando 2+6) conocería también el producto, es decir, 2*6=12.

    - ¿Puede ser la suma que B conoce igual a 9?. Sí, porque aunque B supiera que la suma es 9 (con los pares de valores que quedan se puede llegar a ese resultado sumando 3+6 y 4+5) no conocería el producto, es decir, éste podría ser 3*6=18 ó 4*5=20.

    ...

    Siguiendo este razonamiento llegamos a la conclusión de que para que, después de que A (que conoce el producto) no conozca la suma, B (que conoce la suma) no pueda conocer el producto y, en consecuencia, tampoco el par de número, el resultado de la suma que B conoce es 9 ó 11.

    Esto reduce aún más (de 10 a 5), el número de pares de valores posibles:

    - (3,6), (4,5) --> Si la suma es 9.
    - (2,9), (3,8), (5,6) --> Si la suma es 11.

    La solución que creo que es (el par de números) en el siguiente comentario.

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  5. Lo tercero que hay que preguntarse es: ¿cómo es posible que después, tanto A como B, sepan ya cuáles son los números concretos de entre los cinco pares de valores obtenidos en el comentario anterior?.

    Para ello, nos preguntaremos en primer lugar:

    - ¿Puede ser el producto que conoce A igual a 18?. No, porque hay dos pares de valores que dan como resultado ese producto: (3,6) y (2,9) y, en consecuencia, A no sabría los números (dudaría entre ambos pares de valores).

    - ¿Puede ser el producto que conoce A igual a 20, 24 ó 30?. Sí, porque para obtener cada uno de esos productos sólo hay un par de valores posibles: 4*5= 20, 3*8 =24, 5*6=30.

    Esto reduce a tres el número de pares de valores posibles:

    - (4,5).
    - (3,8).
    - (5,6).

    Finalmente, sólo nos queda preguntarnos cuál de estos pares de valores es el correcto para que B, después de que A afirme conocer los números, pueda también decir que él los conoce.

    Pues bien, esto sólo es posible (creo) si la suma que conoce B es 9 y el producto que A conoces es 20, es decir:

    - Si la suma que B conoce fuera 11, B no podría saber nunca los números, ya que hay dos pares de valores que que dan esa suma (3,8) y (5,6).

    - Mientras si la suma que B conoce es 9, B sí que sabría el par de valores, ya que sólo uno de los tres posibles da como resultado esa suma: (4,5).

    SOLUCIÓN:

    - El producto que A conoce es 20.
    - La suma que B conoce es 9.

    Y, en consecuencia los números son el 4 y el 5.

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