Gimnasia mental (XXXII): los siete ladrones

Siete ladrones roban un cargamento de lingotes de oro y a la hora de repartir el botín a partes iguales sobran 6 lingotes.

Como no se ponen de acuerdo en la forma de repartir los lingotes sobrantes, se pelean entre ellos y mueren dos ladrones. Tras realizar de nuevo el reparto entre los supervivientes sobran dos lingotes, por lo que se vuelve a desatar una pelea entre ellos y muere otro ladrón. Ahora sí, el reparto de los lingotes se realiza a partes iguales entre los ladrones que quedan vivos.

a) ¿Cuál es el número mínimo de lingotes que han robado los ladrones para que pueda ser cierto el enunciado?.
b) ¿Cuál es el siguiente número de lingotes que podría hacer cierto el enunciado?. 

Si eres capaz de resolver este problema, sin duda, podrás resolver también este reto de criptografía.

Solución: utilizo lo que he entendido del teorema chino del resto para resolver este problema.

Tenemos el siguiente sistema de congruencias lineales simultáneas:

X ≡ 6 (mod 7)

X ≡ 2 (mod 5)

X ≡ 0 (mod 4)

Es decir, buscamos el número X que dividido entre 7 da como resto 6, que dividido entre 5 da como resto 2 y que dividido entre 4 da como resto 0.

Como los módulos son primos entre sí dos a dos, es decir, el máximo común divisor de ellos tomados dos a dos es igual a 1, podemos utilizar el teorema chino del resto para resolverlo:

mcd(7, 5) = 1

mcd(7, 4) = 1

mcd(5, 4) = 1

Lo primero que tenemos que hacer para calcular X es obtener el módulo (N), que sería el producto de los módulos de las tres congruencias:

N = 7 * 5 * 4 = 140

Lo segundo que tenemos que hacer es dividir el nuevo módulo (N) entre los módulos de las tres congruencias:

N₁ = 140 / 7 = 20

N₂ = 140/ 5 = 28

N₃ = 140 / 4 = 35

Lo tercero que tenemos que hacer es calcular el inverso mutiplicativo modular de los valores obtenidos en el paso anterior, es decir:

20 * s₁ ≡ 1 (mod 7)

28 * s₂ ≡ 1 (mod 5)

35 * s₃ ≡ 1 (mod 4)

Cuando los números son pequeños, como es el caso, podemos utilizar la fuerza bruta para calcular el inverso multiplicativo modular, es decir, basta con ir probando todos los números (1, 2, …), uno detrás de otro, hasta encontrarlo.

s₁ = 6

s₂ = 2

s₃ = 3

Finalmente encontramos la solución particular:

6 * 20 * 6 + 2 * 28 * 2 + 0 * 35 * 3 = 720 + 112 + 0 = 832

832 ≡ X (mod 140)

X = 132

Y la solución general sería:

X = 132 + 140 Y

Para Y = 1: X = 132 + 140 * 1= 272

Para Y = 2: X = 132 + 140 * 2= 412

…

Por tanto, la respuesta a la primera pregunta es que los ladrones han robado como mínimo 132 lingotes de oro y a la segunda, es decir, el siguiente número de lingotes robados que podría hacer cierto el enunciado, es 272.

Este mismo teorema se puede utilizar para resolver también este reto de criptografía.

Dejo un pequeño script en python que resuelve el problema planteado en este post y que puede servir, con pequeñas variaciones, para resolver el citado reto de criptografía.

import gmpy2

a1 = 6

n1 = 7

a2 = 2

n2 = 5

a3 = 0

n3 = 4

N = n1*n2*n3

X = (a1 * N/n1 * gmpy2.invert(N/n1,n1) + a2 * N/n2 * gmpy2.invert(N/n2,n2) + a3 * N/n3 * gmpy2.invert(N/n3,n3)) % N

print ''

print '[+] Respuesta pregunta 1: los ladrones han robado como minimo', X, 'lingotes de oro.'

print ''

print '[+] Respuesta pregunta 2: el siguiente numero de lingotes robados que podria hacer cierto el enunciado es', X+N,'.'