El blog de García Larragan y Cía

En este post continúo con el  pequeño repaso a los métodos de factorización más conocidos : en esta ocasión me referiré al método p - 1 de Pollard . Al igual que los otros dos métodos de los que he hablado en posts anteriores ( Fermat y rho de Pollard ), se trata también de un método de factorización de propósito específico , es decir, el tiempo necesario para descomponer el módulo ( n ) en sus dos factores primos ( p y q ) depende de las características de estos últimos, en contraposición con los métodos de factorización de propósito general, en el que el tiempo de ejecución depende únicamente del tamaño del módulo. Por lo que he entendido, el algoritmo podría ser el siguiente (como siempre, si estoy equivocado agradecería las oportunas correcciones a modo de comentario en esta entrada): En nuestro caso (con el ejemplo que vengo utilizando en esta serie de posts): En posteriores posts continuaré con este pequeño repaso a los métodos de factorización más conocidos. Qui

Continúo con el pequeño repaso a algunos de los métodos de factorización más conocidos que inicié en el post anterior  y que, en teoría, podrían emplearse para atacar al algoritmo de cifrado RSA . Digo en teoría porque, como ya he venido insistiendo en esta serie de post, los métodos conocidos y que es posible implementar hasta la fecha no resuelven la factorización del módulo ( n ) en sus dos factores primos ( p y q ) en tiempo polinomial y, por tanto, son ineficientes para abordar este problema en un tiempo razonable cuando se trata de números lo suficientemente grandes (ya dije en el post anterior que actualmente se emplea un tamaño para el módulo de 2.048 bits). En esta ocasión le toca el turno al método de factorización rho de Pollard . Como siempre utilizaré el ejemplo que vengo usando en esta serie de posts ( n = pq = 53 x 997 = 52.841 ). En nuestro caso : Como vemos,  en tan sólo 6 iteraciones hemos conseguido factorizar el módulo ( 52.841 ) en sus dos fact

Ya he dicho en posts anteriores que la fortaleza del cifrado RSA reside en el elevadísimo coste computacional al que tendrían que enfrentarse quienes pretendan atacar este algoritmo ; y referido al caso concreto de la factorización del módulo ( n ) para hallar sus dos factores primos ( p y q ), en la enorme cantidad de cálculos a realizar para ello cuando se trata de números lo suficientemente grandes (actualmente se emplea para el módulo un tamaño de 2.048 bits). Por tanto, se trata de un problema  perfectamente resoluble desde un punto de vista matemático, pero inabordable actualmente por la ingente cantidad de tiempo y recursos necesarios . Comienzo con este post un pequeño repaso a  algunos de los métodos de factorización más conocidos  para hacernos una idea del esfuerzo que esto conlleva . Para ello, intentaré factorizar mediante estos métodos el módulo del ejemplo que vengo utilizando en esta serie de posts ( n = pq = 53 x 997 = 52.841 ). - Método de factorización de Ferm

En anteriores posts de esta serie he hablado de algunos ataques teóricamente posibles al algoritmo de cifrado RSA  ( cifrado cíclico  y  paradoja del cumpleaños ),  pero que tal y como comenté son ineficientes  cuando se utilizan números primos lo suficientemente grandes para generar el par de claves (pública y privada). Además de los ya mencionados  existen otros ataques posibles ; y en este post trataré sobre uno de ellos: el ataque a RSA mediante módulo común . La idea de este ataque consiste en explotar el hecho de que  se utilice el mismo módulo (n)  a la hora de generar pares de claves para diferentes usuarios  (cada uno de ellos con su exponente publico y privado propios). En principio, esto no compromete la seguridad del algoritmo, pero deja la "puerta abierta" a que   si se cifra el mismo mensaje para más de un usuario  un criptoanalista que intercepte los criptogramas pueda hacerse con el mensaje en claro. Veamos un ejemplo : 1.- Módulo común a los usuarios