Gimnasia mental (XXVII): la paradoja del cumpleaños

Supongamos que un autobús empieza su recorrido sólo con el conductor y va realizando sucesivas paradas.

En cada una de ellas se sube al autobús un nuevo viajero. Suponiendo años de 365 días, es decir, sin considerar años bisiestos:

¿Cuántas paradas debe realizar para que la probabilidad de que al menos dos personas que viajen en el autobús (conductor incluido) celebren su cumpleaños el mismo día sea superior al:

a) 50%?.

b) 99%?.

Un problema (no el mismo, pero muy similar) que recuerdo que nos plantearon en clase en mis tiempos de universidad y, además, que junto con el teorema chino de resto (ver este post de esta misma serie) tiene curiosas aplicaciones en criptología, pero esto ya es otra historia de la que, si es el caso, trataré en entradas posteriores de este blog.

Solución:

1.- La probabilidad de que cuando el autobús empieza su recorrido ninguna de las personas que se encuentran en él celebre su cumpleaños el mismo día que otra es evidentemente (sólo está el conductor) de 365/365 = 1 (100%).

Cuando en la primera parada se sube el primer viajero la probabilidad de que ninguna de las personas que se encuentran en él celebre su cumpleaños el mismo día que otra es de 365/365 x 364/365 = 0,9973 (99,73%).

Cuando en la segunda parada se sube el segundo viajero la probabilidad de que ninguna de las personas que se encuentran en él celebre su cumpleaños el mismo día que otra es de 365/365 x 364/365 x 363/365 = 0,9918 (99,18%).
...
Cuando en la enésima parada se sube el enésimo viajero la probabilidad de que ninguna de las personas que se encuentran en él celebre su cumpleaños el mismo día que otra es de 365/365 x 364/365 x 363/365 x ... x (365-n)/365, lo que se puede generalizar como: 365 x 364 x 363 x ... x (365-n) / 365n+1, siendo n el número de paradas. Nótese que en el autobús hay una persona más (el conductor) que el número de paradas que realice.

Por tanto, la probabilidad de que tras la enésima parada ninguna de las personas que viajan en el autobús (n+1, conductor incluido) celebre su cumpleaños el mismo día que otra es:

2.- Y, por tanto, la probabilidad de que tras la enésima parada al menos dos personas que viajan en el autobús (n+1, conductor incluido) celebren su cumpleaños el mismo día es: 1 - 365 x 364 x 363 x ... x (365-n) / 365n+1, siendo n el número de paradas, es decir:

Por tanto y aunque intuitivamente pudiera parecer que hacen falta muchas más personas en el autobús, con tan sólo 23 personas (22 paradas) la probabilidad de que al menos 2 personas celebren su cumpleaños el mismo día es superior al 50% y tan sólo hacen falta 57 personas (56 paradas) para que esta probabilidad supere el 99%.