Hace poco he pasado unos días en El Pueyo de Jaca; un precioso pueblo del pirineo oscense en pleno valle de Tena, en la comarca aragonesa del Alto Gállego. Un valle que es una verdadera joya en lo que se refiere a sus pueblos (el propio El Pueyo de Jaca, Panticosa, Tramacastilla,...) y a sus parajes naturales (montañas, bosques, ibones, ríos,...), y un sitio ideal para practicar senderismo, montañismo, bicicleta de montaña, escalada, etc., sin olvidarme de la gastronomía tensina (migas con uvas, patatas encebolladas,...).
El Pueyo de Jaca.
Pero no escribo esta entrada para alabar los maravillosos paisajes y otros muchos encantos de este lugar, sino porque antes de ir, un amigo mío, sabiendo que soy un poco o bastante 'freaky' (yo diría que muy) y me gustan temas como la criptografía, el simbolismo, etc., me comento que en El Pueyo de Jaca hay una fachada decorada con hasta 10 cuadrados mágicos.
Posiblemente, el cuadrado mágico más famosos es el que figura en el grabado
"Melancolía I" del artista del
renacimiento Alemán Alberto Durero.
En su día escribí una entrada en este blog sobre este cuadrado
mágico porque aparece en la novela "El símbolo perdido" de Dawn Brown, y en ella se combina éste con dos
sistemas criptográficos: el cifrado francmasón y el cifrado por transposición. Vamos, que en esta
novela se juntan, tal y como ya he dicho, dos de mis aficiones: la criptografía y
el simbolismo.
Por tanto, cuando fui a El Pueyo de Jaca, entre otras muchas cosas que tenía previsto ver, tenía una visita obligada, y a continuación describo los 10 cuadrado mágicos que allí encontré.
1.- Cuadrado mágico de Durero:
Como entiendo que no puede ser de otra forma, allí se encuentra, quizás
junto con el de la Sagrada Familia, el más famoso de todos
ellos.
- Es un cuadrado mágico porque
la suma de todos los números de cada una de sus filas, de cada una de sus
columnas y de cada una de sus diagonales principales es siempre la misma.
A ese valor se le llama constante mágica.
- Es un cuadrado mágico normal,
porque contiene todos los números naturales desde el 1 hasta n2 (en este caso del 1 al 16, ya que
se trata de un cuadrado de orden 4, 4 filas x 4 columnas). En el caso de este
tipo de cuadrados mágicos la constante mágica se puede calcular
mediante la siguiente fórmula: n(n2+1)/2. En el cuadrado mágico de Durero: 4(16+1)/2 = 34.
- No es un cuadrado mágico diabólico (también
llamado panmágico, pandiagonal o perfecto), ya que la suma de todos los
números en cada una de sus diagonales quebradas
no es igual a la constante mágica (por ejemplo: 16 + 15 + 7 +8 = 46, que es
diferente de 34). En la explicación del siguiente cuadrado mágico se representan gráficamente las diagonales quebradas.
2.- El cuadrado mágico apocalíptico:
Sobre este cuadrado mágico y con relación a sus principales
características, comentar que:
- Es un cuadrado mágico porque
la suma de todos los números de cada una de sus filas, de cada una de sus
columnas y de cada una de sus diagonales principales es siempre la misma.
- No es un cuadrado mágico normal, porque contiene números naturales que no son de la serie del 1 hasta n2 (en este caso del 1 al 36, ya que se trata de un cuadrado de orden 6, 6 filas x 6 columnas). Su constante mágica es 666 (el número de la Bestia) y, por tanto, creo que es fácil deducir el por qué de su nombre (el número o marca de la Bestia aparece en el libro del apocalipsis de San Juan, en el Nuevo Testamento).
- Es un cuadrado mágico diabólico (también llamado
panmágico, pandiagonal o perfecto), pero no por el valor concreto de su
constante mágica (666), aunque sólo por eso merecería serlo :D, sino porque la suma de todos los números en cada
una de sus diagonales quebradas es también igual a la constante mágica.
Y como característica adicional cabe
destacar la siguiente:
- Se trata de un cuadrado mágico primo,
ya que todos los números que en él figuran son números primos.
Como en todos los cuadrados mágicos, se pueden interpretar muchas más de sus características e incluso encontrar y dar explicación a otras adicionales a las que son más evidentes. En este post, no pretendo analizar en profundidad todas las que presentan los cuadrados mágicos de El Pueyo de Jaca, pero se me ocurre que en este caso se podría intentar averiguar si hay alguna relación simbólica entre el diablo y los números primos.
3.- Cuadrado mágico en un tablero de
ajedrez:
Aquí se unen los cuadrados mágicos con otra de mis aficiones confesables, el
ajedrez.
Sobre él y con relación a sus principales
características, comentar que:
- Es un cuadrado mágico porque
la suma de todos los número de cada una de sus filas, de cada una de sus
columnas y de cada una de sus diagonales principales es siempre la misma.
A ese valor se le llama constante mágica.
- Es un cuadrado mágico normal,
porque contiene todos los números naturales desde el 1 hasta n2 (en este caso del 1 al 64, ya que
se trata de un cuadrado de orden 8, 8 filas x 8 columnas) y, por tanto y según la
fórmula que he indicado antes, su constante mágica es:
8(64+1)/2 = 260.
La primera es que cuando era
niño me enseñaron un pequeño entretenimiento (el problema del caballo) consistente en
colocar un caballo en la casilla superior izquierda de un tablero de ajedrez
dibujado en un papel con cuadrículas y lograr moverlo por todas las casillas de
éste sin pasar más de una vez por la misma. Yo solía repetir este pequeño
ejercicio para pasar el rato. Tras cada movimiento del caballo rotulaba la
casilla por la que pasaba con un número consecutivo, la 'a8' era la 1). Pues
bien, aunque la solución no es la misma que yo aprendí (tengo entendido que hay
un gran número de ellas), hay una forma de hacer esto que es la siguiente:
Se trata del mal llamado cuadrado mágico de Euler, ya que, aunque la suma de todos los número de cada una de sus filas y de cada una de sus columnas es igual a su constante mágica, 8(64+1)/2 = 260, la suma de los números de cada una de sus diagonales principales no da como resultado ese valor, por lo que en realidad es un cuadrado semimágico.
Y la segunda de las
curiosidades con respecto a los cuadrados mágicos con relación al ajedrez que
me permito incluir en esta entrada aunque no tenga nada que ver con los de El Pueyo de Jaca, la voy a poner en forma
de reto a los lectores (ver reto).
4. y 5.- Cuadrados mágicos reversibles:
Se trata de dos cuadrados mágicos de orden 4 en los que los números que figuran en cada celda de uno de ellos son los mismos que los de su respectiva celda en el otro pero con los dígitos situados en orden inverso.
- Son cuadrados mágicos porque, en ambos, la suma de todos los números de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales principales es siempre la misma.
- No son cuadrados mágicos normales, porque ambos contienen números naturales que no son de la serie del 1 hasta n2 (en este caso del 1 al 16, ya que se trata de cuadrados de orden 4, 4 filas x 4 columnas). La constante mágica de ambos es 242.
- Son cuadrados mágicos diabólicos (también llamado panmágicos, pandiagonales o perfectos) porque, en ambos, la suma de todos los números en cada una de sus diagonales quebradas es también igual a la constante mágica.
6.- Cuadrado mágico de Khajuraho:
Y como característica adicional cabe destacar la siguiente:
- Pese a datar del siglo XI d.C., su grupo de simetrías es isomorfo al del hipercubo. Debo decir que esto ya me supera, O_O. Me queda pendiente investigar sobre esta característica.
7.- Cuadrado mágico orlado:
Se trata de un cuadrado mágico de 5x5 que contiene en su interior otro cuadrado mágico de 3x3, por lo que este tipo de cuadrados mágicos también suelen llamarse concéntricos, pudiendo constar de 'n' cuadrados mágicos.
- Son cuadrados mágicos porque, en ambos, la suma de todos los números de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales principales es siempre la misma. (75 en el de orden 5 y 45 en el de orden 3).
- No son cuadrados mágicos normales, porque ambos contienen números naturales que no son de la serie del 1 hasta n2 (del 1 al 25 en el caso del cuadrado de orden 5 y del 1 al 9 en el caso del de orden 3). La constante mágica del cuadrado de orden 5 es 75, y la del de orden 3 es 45.
- Ni el cuadrado mágico de orden 5 ni el de orden 3 son cuadrados mágicos diabólicos (también llamado panmágicos, pandiagonales o perfectos) porque en ninguno de ambos la suma de todos los números en cada una de sus diagonales quebradas es igual a la constante mágica (75 y 45, respectivamente).
Y como característica adicional cabe destacar la siguiente:
- Los números del cuadrado interno de orden 3 son todos los de la serie de números naturales del 11 al 19.
8.- Cuadrado mágico en escalera:
- Es un cuadrado mágico normal, porque contiene todos los números naturales desde el 1 hasta n2 (en este caso del 1 al 25, ya que se trata de un cuadrado de orden 5, 5 filas x 5 columnas) y, por tanto y según la fórmula ya indicada, su constante mágica es: 5(25+1)/2 = 65.
- Como característica adicional, tal y como he dicho anteriormente, cabe indicar la forma en que se construyó ("ESC", de "ESCALERA"):
9.- Cuadrado mágico Lo Shu:
Sobre él y con relación a sus principales características, comentar que:
- Es un cuadrado mágico porque la suma de todos los números de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales principales es siempre la misma.
- Es un cuadrado mágico normal, porque contiene todos los números naturales de la serie del 1 hasta n2 (en este caso del 1 al 9, ya que se trata de un cuadrado de orden 3, 3 filas x 3 columnas). Su constante mágica es 15, 3(9+1)/2 = 15.
- No es un cuadrado mágico diabólico (también llamado panmágico, pandiagonal o perfecto), ya que la suma de todos los números en cada una de sus diagonales quebradas no es igual a la constante mágica.
10.- Cuadrado mágico 3x3 CM = 66:
En este caso, no veo ninguna pista que me pueda decir de qué cuadrado mágico se trata, ni siquiera de qué tipo es, más allá de que se trata de un cuadrado de orden 3 y de que la constante mágica es 66.
Ni idea del por qué de este cuadrado mágico, pero ya que los anteriores son famosos o tienen algún sentido, me propuse encontrar algo que pudiera darle un significado.
Tras buscar por Internet encontré un sitio web que me dio una pista y en el que se afirma que "Un ejemplo del uso de la numerología en relación a los cuadrados mágicos..., que consistía en un cuadrado mágico 3×3,... cuya constante es 66..., que es precisamente el valor calculado del nombre de Alá (allah, que leído de derecha a izquierda está formado por las letras, alif, lam, lam, ha, y por lo tanto tiene el valor 1 + 30 + 30 + 5 = 66)".
Los números del cuadrado mágico que se encuentra en El Pueyo de Jaca no coinciden con los del que se menciona en el sitio web anterior, pero su constante mágica es 66, el que nos dicen que es el número de Alá.
Investigando un poco más por Internet doy con la siguiente entrada:
Sobre él y con relación a sus principales características, comentar que:
- Es un cuadrado mágico porque la suma de todos los números de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales principales es siempre la misma.
- No es un cuadrado mágico normal, porque contiene números naturales que no son de la serie del 1 hasta n2 (en este caso del 1 al 9, ya que se trata de un cuadrado de orden 3, 3 filas x 3 columnas). Su constante mágica es 66 (el nombre de Alá).
- No es un cuadrado mágico diabólico (también llamado panmágico, pandiagonal o perfecto), ya que la suma de todos los números en cada una de sus diagonales quebradas no es igual a la constante mágica.
Hasta aquí este post sobre los cuadrados mágicos de El Pueyo de Jaca, pero intentaré recopilar información e ir escribiendo otras entradas sobre cuadrados mágicos existentes en Navarra y Euskadi, ya que éstos están íntimamente relacionados con la cultura popular y las leyendas, por lo que no me cabe ninguna duda de que debe haber muchos de ellos diseminados por toda su geografía y agradecería a los lectores de este blog indicaciones sobre sus concretas ubicaciones.
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